Quais são as condições de Dirichlet em uma série de Fourier? As condições de Dirichlet são necessárias?

Citando condições de Dirichlet – Wikipedia

“… as condições de Dirichlet são condições suficientes para que uma função periódica com valor real [math] f [/ math] seja igual à soma de suas séries de Fourier em cada ponto em que [math] f [/ math] é contínuo. Além disso, o comportamento da série de Fourier nos pontos de descontinuidade também é determinado (é o ponto médio dos valores da descontinuidade). ”

Além disso: “… o teorema de Dirichlet diz em particular que, nas condições de Dirichlet, a série de Fourier para [math] f [/ math] converge e é igual a [math] f [/ math] onde quer que [math] f [/ math] é contínuo. ”

As condições são três cláusulas e você pode lê-las na página da Wikipedia.

São condições suficientes.

Uma função que viola as condições de Dirichlet é [math] \ sin (1 / x) [/ math] no intervalo [math] 0 <x <1 [/ math].

Para provar que são condições necessárias, você deve encontrar pelo menos uma função que viole pelo menos uma das cláusulas de Dirichlet e, no entanto, tenha uma expansão como a série de Fourier. A distribuição Dirac [math] \ delta (x) [/ math] é excluída porque não é contínua em [math] x = 0 [/ math].

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